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iMática - Soluções dos Problemas propostos na: RPM 41

 

  1. Dado um triângulo ABC, seja o pé da bissetriz pelo vértice C. Determinar o lugar geométrico dos pontos X do plano ABC tais que a bissetriz por X, do triângulo ABX, passa por P.

    Solução:

    Pelo teorema da bissetriz interna, um ponto X do plano ABC é tal que a bissetriz do triângulo ABX por X passa por P se e somente se

    Logo, pelo problema 170 da RPM 42, o lugar geométrico pedido é a reta mediatriz de AB se AP=BP ou uma circunferência se APBP.

    (Solução enviada por vários leitores.)



  2. Mostrar que, reunindo os pontos médios dos lados de um quadrilátero ABCD (convexo ou não), obtém-se um paralelogramo cuja área é a metade da área do quadrilátero. Vale o mesmo para o "quadrilátero" ABCD da figura da direita?

    Solução:

    Em qualquer dos casos, MNPQ é um paralelogramo (podendo ser degenerado), já que e .

    Na figura da esquerda temos:

    .

    Portanto, .

    Na figura do meio temos:

    .

    Portanto, .

    Na figura da direita temos:

    .

    Assim, se definirmos, neste caso, a área MNPQ como sendo a diferença das áreas dos triângulos ABD e BCD, teremos .



  3. Na loteria de Truchilândia, cada bilhete tem um número de três algarismos que usa somente os algarismos 1, 2, 3 (é permitido repetir os dígitos). Um bilhete é ganhador se coincide em pelo menos duas posições com o número sorteado.

  1. Qual é a probabilidade de que um apostador, que comprou um único bilhete, ganhe o prêmio?

  2. Você decide comprar 3 bilhetes. Que bilhetes você escolheria de modo a maximizar sua probabilidade de ganhar o prêmio?

  1. Qual é o número mínimo de bilhetes que você precisa comprar para ter certeza que você ganhará o prêmio?

Solução:

Vamos observar inicialmente que, como os números podem ser repetidos, um sorteio dessa loteria admite resultados possíveis.

a) Um único jogo (por exemplo 121) garante a vitória do apostador em sete resultados. De fato, as duas primeiras posições (12) garantem a vitória se os resultados forem 121, 122, 123. A primeira e terceira posições (1-1) permitem que o apostador ganhe com os resultados 111, 121, 131. Finalmente, a segunda e terceira posições (21) darão a vitória com os resultados 121, 221, 321. Como o próprio jogo é repetido duas vezes, são sete os resultados distintos favoráveis ao jogador. Conclui-se, portanto, que a probabilidade de vitória de um apostador que comprou um único bilhete é igual a 7/27.

b) Com três bilhetes, o máximo que se pode esperar é garantir a vitória em 21 jogos, o que nos daria uma probabilidade de vitória igual a 7/9. Isso pode ser conseguido com jogos que não repitam nenhum número na mesma posição. Assim, por exemplo, os conjuntos de três jogos 111, 222, 333 e 123, 231, 312 dão ao jogador essa probabilidade máxima de vitória.

c) Como no total existem 27 resultados possíveis e cada jogo garante a vitória do apostador em apenas sete, conclui-se que três jogos não são suficientes para que tenhamos certeza da vitória. Mostraremos a seguir que quatro jogos também não são suficientes. Como são três algarismos e quatro jogos, existem dois algarismos que vão aparecer uma única vez na primeira posição. Vamos supor que o número 1 apareça em um único jogo na primeira posição. É fácil ver que esse jogo garante a vitória do apostador em cinco jogos distintos que começam com o número 1. Existem nove jogos que começam com o número 1 e a vitória nos outros quatro terá que ser garantida pelos algarismos que aparecem na segunda e terceira posições dos demais jogos. Como só existem três outros jogos, sobra um jogo que começa com 1, que se for sorteado não dará a vitória ao apostador.

Existem vários conjuntos de cinco jogos que resolvem o problema, como o leitor pode verificar nos exemplos:

123, 211, 232, 312, 331; 121, 132, 213, 322, 331.

(Adaptada da solução publicada na revista Eureka, número 6.)



  1. Considere o conjunto dos números inteiros de quatro algarismos , onde a, b, c e d são não nulos e não necessariamente distintos. Seja . Para que valores de x, teremos ?

Solução:

. Teremos se e só se Vamos supor, sem perda de generalidade, que e tomemos inicialmente . Então, b será necessariamente maior que 1, pois, caso b fosse igual a 1, a soma das quatro frações seria maior que 2.

Supondo , temos que encontrar soluções para .

Para , obtemos e, para , d também será igual a 4. Obtemos assim duas soluções, que são 1236 e 1244. Para , e, portanto, não existe solução.

Vamos analisar agora o caso e . Nesse caso, a única solução é dada por , que corresponde a . Não é difícil verificar que não existe nenhuma outra solução se .

Para , temos que procurar soluções para A única solução é dada por , que corresponde a . Não existem soluções para , pois, nesse caso, a soma das quatro frações seria no máximo igual a 4/3.

Observamos que todas as permutações das quatro soluções obtidas são também soluções do problema, o que nos dá um total de 41 soluções.

(Adaptação de soluções enviadas por vários leitores.)

 

Relação dos leitores que enviaram soluções dos

problemas da RPM 41

Amadeu Carneiro de Almeida, RJ - 174,175

João Linneu do A. Prado, SP - 174

Américo Antônio Frigo, SP - 176, 177

José Hernandez, SP - 177

André L. Souza de Araujo, RJ - 174

José Renato C. Carneiro, SP - 175

Carlos A. S. Victor, RJ - 174,175, 176, 177

Lhioko S. Tayra, SP - 162

Dorival Carmo de Sousa, GO - 174

Luciano Marinho Filho, PE - 175, 177

Eudes Antônio da Costa, GO - 174

Ronaldo Antonio dos Santos, GO - 174

F. W. Leão, RJ - 174, 175, 177

Trajano Pires da Nóbrega Neto, SP - 177

Fernando Carvalho Ramos, RS - 177

Tsunediro Takahaski, SP - 175, 177

Florival Carmo de Souza, GO - 174

Wanderley Gamba, SP - 174

Geraldo Perlino Junior, SP - 174, 175, 177

 


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