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Caixas de Galton (Problema dos Caminhos)

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Problema dos caminhos/Caixas de Galton
    
O problema das Caixas de Galton foi apresentado por Francis Galton (16 Fev 1822 - 17 Jan 1911). O dispositivo é composto por um tabuleiro com pinos e caixas na parte inferior, como na figura 1, sendo que:
  1. existe um tabuleiro com N linhas com pinos alinhados ao centro;
  2. a linha 1 tem 1 pino, a linha 2 tem 2 pinos e assim por diante, com a linha N com N pinos;
  3. após a linha N existem N+1 caixas, numeradas de 1 a N+1 (para receber a bola a ser lançada);
  4. é realizado o lançamento de uma bola sobre o pino 1, supondo-se que a bola ao bater em um pino na linha k, tem igual probabilidade de seguir para o pino na linha k+1 à sua esquerda ou à sua direita.
  5. o problema é saber a probabilidade da bola cair na caixa i.
 		                                               
Fig. 1. Ilustração do problema das Caixas de Galton com 5 linhas.
Abaixo apresentamos algumas pistas de como o problema pode ser resolvido.
 
Como resolver
     Para resolver esse problema deve-se contar o número de caminhos mínimos distintos desde o pino 1 até cada uma das caixas, sendo que as caixas centrais tem mais caminhos distintos.
Para isso numeremos os pinos pelo par (i,j), sendo i a linha do pino e j sua posição na linha (ou sua coluna). Assim, o pino 1 recebe o rótulo (1,1). Também denotemos por Ci,j o total de caminhos desde o pino (1,1) até o pino (i,j).
Desse modo pode-se provar o seguinte lema: para todo i e todo j, Ci,j = Ci-1,j-1 + Ci-1,j. Ou seja, o total de caminhos mínimos distintos até o pino (i,j) é igual ao total de caminhos até o pino (i-1,j-1) mais o total de caminhos até o pino (i-1,j).
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A relação acima é a mesma que aparece em problemas de combinações como no Triângulo de Pascal:
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     Essa versão do iGalton foi desenvolvida em JavaScript puro, sem apoio de arcabouços, então pode ser útil para interessados em aprender os fundamentos da programação HTML/CSS/JavaScript.
O iGalton é parte dos sistmeas computacionais desenvolvidos pelo LInE: Software livre, dados privados.
O problema das Caixas de Galton tem sido usado no LEM em cursos desde 1999: aprendizado participativo.
 
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Software livre, dados privados.
 
Como "jogar"
    

A seguir uma implementação em HTML/CSS/JavaScript para simular o dispositivo proposto por Galton. Para visualizar a movimentação da bola caindo, amplie o valor do retardo e "clique" no botão "lançar" (mas neste caso, talvez seja melhor utilizar apenas uma bola, ou seja, o valor 1 para o número de lançamentos).
Para ter uma melhor percepção da "lei dos grandes números" (a frequência deve aproximar-se da probabilidade), amplie o valor do número de lançamentos e "clique" no botão "lançar" (nesse caso é melhor reduzir para 0 o valor na caixa Retardo).

Retardo:
Lançamentos:
iGalton - LInE

Prof. Leônidas de Oliveira Brandão
Laboratório de Informática na Educação (LInE)
Versão atual iGalton: 2023/03/08 (inicial de: 2023/03/01)


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