voltar

Números Figurados
Período: 580 - 500 a.C. aproximadamente
Assuntos matemáticos envolvidos:

Como citado no texto sobre Pitágoras de Samos, os pitagóricos desejavam compreender por completo a natureza dos números, para isso examinaram vários relacionamentos, dentre eles propuseram um paralelo com figuras planas, conceiturando os números figurados, aqueles números que podem ser expressos a partir determinada configuração geométrica, examinando-se a quantidade de pontos na figura que representa o número. Foram propostos vários agrupamentos em formas geométricas sugestivas, como números figurados triangulares, quadrados e pentagonais como ilustrados nos diagramas abaixo (fig. 1, 2 e 3).

ht_ntriangular.gif
Fig. 1. Números triangulares T1, T2, T3 e T4.

ht_nquadrados.gif
Fig. 2. Números quadrados Q1, Q2, Q3 e Q4

ht_npentagonais.gif
Fig. 3. Números pentagonais P1, P2, P3 e P4.

Examinaremos alguns resultados básicos relativos aos números figurados, iniciando com os números triangulares.

Considerando Tk o número triangular cujo triângulo associado tem base com k pontos, podemos provar a propriedade seguinte.

Observamos que um número quadrado (como Q4), em sua forma geométrica, pode ser decomposto em números triangulares consecutivos (no exemplo T4 e T3). Essa decomposição é ilustrada na figura 5.

ht_teo1.gif
Fig. 5. Ilustração da decomposição de Q4 como sendo a reunião de T4 (verde) e T3 (azul).

Vamos fazer a prova desse resultado de modo algébrico, usando como base a relação

Tk = 1 + 2 + 3 + ... + k = k*(k+1)/2,         (1)

ou seja, como indicado na figura 4, o triangular Tk é formado pela soma das diagonais com 1, 2, 3 até k pontos.

Ainda observando os 4 primeiro números pentagonais, podemos notar a seguinte regra de formação: Pn = n x (3 x n - 1)/2.
Além disso, a partir da figura 3, podemos notar outra regra de formação (equivalente):

  - o P1 tem 1 vértice;
  - o P2 tem 5 vértices, sendo formado por 2 fileiras com 1+4 = 1 + (1+3) = 2 + 3x1   (note: 4=3xn-2=3x2-2);
  - o P3 tem 12 vértices, sendo formado por 3 fileiras com 1+4+7 = 1 + (1+3) + (1+3+3) = 3 + 3x3   (note: 7=3xn-2=3x3-2);
  - o P4 tem 22 vértices, sendo formado por 4 fileiras com 1+4+7+10 = 1 + (1+3) + (1+3+3) + (1+3+3+3) = 4 + 3 x 6   (note: 10=3xn-2=3x4-2);

Entretanto a propriedade que desejamos destacar é a relação entre número pentagonal e número triangular, expresso no teorema seguinte.

Por fim, desejamos destacar uma interessante relação entre uma progressão aritmética, dos números ímpares, e os números quadrados.

 

Alterado em: 03/05/2023 (ampla revisão L.O.B.)
Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Dr. Francisco César Polcino Milies e Leônidas de Oliveira Brandão
Bibliografia:

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

voltar